Выберите корни уравнения x 3 7
«Теорема Виета в решении квадратных уравнений». 8-й класс
- Платонова Дарья Михайловна, учитель математики
Разделы: Математика
Цели урока:
Развивающие: развивать навыки познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать, развитие умений выделять главное при работе,развитие речи, внимания; формирование самостоятельности в мышлении.
Воспитательные: развивать интерес к математике, привитие аккуратности и трудолюбия, навыков самостоятельной работы и самооценки.
Оборудование:интерактивная доска, компьютер, карточки с дифференцированными заданиями.
I. Организационный момент
II. Актуализация опорных знаний
— Мы начнем сегодняшний урок с высказывания математика Джорджа Пойа «Лучший способ изучить что-либо — это открыть самому». (Слайд 1. Презентация).Это высказывание я выбрала не случайно, так как сегодня на уроке вам предстоит самим сформулировать теорему, которая играет важнейшую роль для дальнейшего изучения математики.
— Для начала давайте вспомним, какую тему мы с вами изучаем?
— Составьте, пожалуйста, синквейн по данной теме. (Слайд 2)
Заслушиваем несколько учащихся.
— Какое уравнение называется квадратным? (Слайд 3)
— Является ли квадратным уравнение:
а) 5×2-7×3+13=0;
б) 8x-5×2+4=0;
в)
Возьмите приложение 1 и выполните задания. Соедините каждое уравнение, стоящее в левом столбце, с соответствующими ему коэффициентами а, b, с из правого столбца (Слайд 4):
Соедините каждое утверждение, стоящее в левом столбце, с соответствующим ему словом из правого столбца. (Слайд 5)
- Что называют дискриминантом квадратного уравнения? (Слайд 6)
- Как с помощью дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение?
- Назовите формулы корней квадратных уравнений.
Вы научились решать неполные квадратные уравнения по специальным алгоритмам, а полные квадратные уравнения — по формулам. Решение по формулам громоздко, поэтому давайте с вами найдем другой более простой способ нахождения корней квадратного уравнения. Для этого проведем небольшую исследовательскую работу в парах. Возьмите приложение 2 и выполните задания, напечатанные в нем.
1. Решите приведенные квадратные уравнения
х2 — 7х — 18=0;
х2 — 10х + 21=0;
х2 + 13х — 30=0
2. Заполните таблицу (Слайд 7).
Проверка полученных результатов учащихся с помощью заполненной таблицы (Слайд 8).
III. Изучение нового материала.
4. Запишите в тетради приведенное квадратное уравнение в общем виде, в котором второй коэффициент обозначим буквой p, а свободный член буквой q: х2 + px + q = 0.
5. Запишите общую формулу корней приведенного квадратного уравнения.
6. Найдите сумму корней приведенного квадратного уравнения (x1 + x2 = — p)
7. Найдите произведение корней приведенного квадратного уравнения (x1 * x2 = q).
8. Сформулируйте полученный результат. (Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).
Данное утверждение носит название теоремы Виета по имени французского математика Франсуа Виета. В 1591 году Виет ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней формулами.
Запишите, пожалуйста, в тетради тему сегодняшнего урока: «Применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений» (Слайд 9).
Откройте учебники и запишите теорему Виета (Слайд 10).
Можно ли использовать теорему Виета для решения неприведенных квадратных уравнений вида ax2 + bx + c= 0?
Для уравнений вида ax2+bx+c=0 сумма корней равна ,
а произведение (Слайд 11).
Как вы думаете для чего нам нужна теорема Виета? Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:
Если m и n таковы, что их сумма равна — p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2 + px + q = 0. Запишите данную теорему в тетради (слайд 12).
По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.
Если выполняется равенство и , то числа х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.
IV. Физминутка (Слайд 13).
V. Закрепление изученного материала.
Пример 1
Найдем сумму и произведение корней уравнения 3×2-5x+2=0.
Дискриминант D=1 — положительное число. Значит, уравнение имеет корни. Эти же корни имеет приведенное квадратное уравнение . Значит, сумма корней равна , а произведение равно .
Пример 2
Найдем дискриминант: D=169.
По формуле корней квадратного уравнения получаем: x1 = — 8, x2 = 5.
Покажем, что корни уравнения найдены правильно.
В уравнении x2+3x-40=0 коэффициент p = 3, а свободный член q= — 40. Сумма найденных чисел −8 и 5 равна −3, а их произведение равно −40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения x2+3x-40=0.
Пример 3
Найдем подбором корни уравнения x2-x-12=0.
Найдем дискриминант: D=49-положительное число. Пусть x1 и x2— корни уравнения. Тогда
Если x1и x2 — целые числа, то они являются делителями числа −12.
Учитывая также, что сумма этих чисел равна 1, нетрудно догадаться, что x1= — 3 и x2 = 4.
Учащимся предлагается выполнить номера из учебника.
Задание 1. Найдите сумму и произведение корней уравнений № 580 а,д,в,г.
Задание 2. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета. № 581 ав.
Задание 3. Методом подбора найдите корни уравнений. № 583 ав.
Один из корней данного квадратного уравнения равен — 2.
Найдите коэффициент k и второй корень уравнения: 3×2 + kх + 10 = 0 (к = 11, ).
VI. Самостоятельная работа на 10-15 минут. (Слайд 14)
Возьмите приложение 3 и выполните самостоятельную работу.
VII. Подведение итогов урока.
— Сформулируйте теорему Виета и теорему обратную теореме Виета.
— Всегда ли можно применять теорему Виета? (Нет, только когда D?0).
— Для чего нам нужна теорема Виета?
— Как можно решить уравнение: х2 + 2х — 3 = 0.
Ответ: С помощью формул, с помощью теоремы Виета.
— Какие же корни? (-3 и 1).
— А еще это уравнение можно решить графически и этот способ решения мы изучим с вами на следующем уроке.
— Надеюсь, этот материал вы не забудете. Помните слова французского инженера-физика Лауэ: «Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто». (Слайд 15)
VIII. Домашнее задание (слайд 16).
2. Решить уравнение: х2+ 2013х — 2014=0.
IX. Рефлексия. (Слайд 17).
Лист самооценки
Оцените степень сложности урока.
Вам было на уроке:
Оцените степень вашего усвоения материала:
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4
17.04.2014
