Выберите среди чисел 9 1 19
Глава 4 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ
§ 24. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
В пятом классе вы изучали натуральные числа. Это числа, которые используют для счета: 1; 2; 3; 4; … . Все натуральные числа образуют множество натуральных чисел. Это множество обозначают буквой N. Множество Nимеет бесконечно много элементов, поскольку натуральных чисел бесконечно много.
Коротко это записывают так: N=(1; 2; 3; 4;…).
Кроме множества натуральных чисел и другие числовые множества.
Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль образуют множество целых чисел. Это множество обозначают буквой Z. Множество целых чисел, как и множество натуральных чисел, тоже бесконечно много элементов.
Коротко это записывают так:
Z = (… — 3; — 2; — 1; 0; 1; 2; 3; …).
Каким бы ни было натуральное число, оно является элементом множества целых чисел. Однако не каждое целое число является элементом множества натуральных чисел. Действительно, любое отрицательное число, которое является противоположным натурального числа, является элементом множества целых чисел. Но такое число не является натуральным. Соотношение между целыми и натуральными числами показано на рисунке 114.
Рис. 114
Рис. 115
? Можно ли считать, что положительные целые числа являются натуральными числами? Так.
Кроме целых чисел вы знаете еще и дробные числа. Некоторые из дробей обозначают целые числа, а некоторые — нет. Например, дробь равна числу −2, которое является целым. Считают, что и 2 — это разные записи одного числа. О еще говорят, что это — число −2, которое записано в виде дроби. А вот число даже после сокращения дроби останется дробным.
Обратите внимание:
не все числа, записанные в виде дроби, являются дробными.
Целые числа и дробные числа составляют множество рациональных чисел. Ее обозначают буквой Q. Множество рациональных чисел, как и множество целых чисел имеет бесконечно много элементов. Соотношение между натуральными, целыми и рациональными числами показано на рисунке 115.
Задача 1 Среди чисел 5,
укажите:
1) натуральные; 2) целые; 3) рациональные.
Решения.
1. Натуральными являются числа
2. Целыми являются числа
3. Рациональными являются числа 5,
Обратите внимание:
— каждое натуральное число является и целым числом, и рациональным числом;
— каждое целое число является рациональным числом;
— не каждое рациональное число является целым числом;
— не каждое рациональное число является натуральным числом.
Задача 2. На координатной прямой постройте точку, размещенную между точками А (2) и В (-4) и координата которой являются: 1) отрицательным целым числом; 2)положительным рациональным числом. Решения. Построим координатную прямую и обозначим на ней точки А и В (рис. 116).
Рис. 116
1. Вообще между точками А (2) и В (-4) находится пять точек с целыми координатами;-3,-2,-1, 0,1. Искомая точка М, координата которой является отрицательным целым числом, размещена между точками В и А. Это, например, точка М (-3).
2. Вообще между точками А (2) и В (-4) находится множество точек с рациональными координатами. Искомая точка Р, координата которой является положительным рациональным числом, размещена между точками О и А. Это, например, точка Р (1,5).
Обратите внимание:
между двумя числами на координатной прямой находится бесконечное количество рациональных чисел.
Узнайте больше
Понятие «множество» — одно из первичных понятий математики. Множество можно образовывать не только из чисел, но и любых других объектов. Например, конфеты в коробке, принадлежности в пенале тоже образуют соответствующие множества. Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества. Для обозначения множеств обычно используют большие латинские буквы А, В, С… . Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множительной. Для ее обозначения используют специальный знак: 0.
ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ
1. Какие числа относят к натуральным?
2. Как обозначают множество натуральных чисел?
3. Какие числа относят к целым?
4. Как обозначают множество целых чисел?
5. Какие числа образуют множество рациональных чисел?
6. Как обозначают множество рациональных чисел?
7. Какое целое число не является отрицательным и не является натуральным?
8. Как связаны между собой натуральные, целые и рациональные числа?
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
1045′. Назовите четыре:
1) натуральные числа; 3) рациональные числа;
2) целые числа; 4) дробные числа.
1046′. Является ли правильным утверждение:
1) −11 — целое число; 7) −9,4 — целое число;
2) 5 — рациональное число; 8) 0 — рациональное число;
3) −11 — натуральное число; 9) −9,4 — рациональное число;
4) 5 — натуральное число; 10) 0 — целое число;
5) −11 — рациональное число; 11) −9,4 — натуральное число;
6) 5 — целое число; 12) 0 — натуральное число?
1047′. Права Иринка, утверждая, что:
— рациональное число;
— целое число;
— рациональное число;
— натуральное число?
1048°. Какие из утверждений являются правильными;
1) каждое натуральное число является целым числом;
2) каждое натуральное число является рациональным числом;
3) каждое целое число является рациональным числом?
1049°. Среди чисел 9; −8; 0; −4,6; 7,8; −475; 1143; выберите:
1) натуральные числа; 4) целые отрицательные числа;
2) целые числа; 5) недодатні рациональные числа.
3) положительные числа;
1050°. Среди чисел −96,3; 0; −25; 283; 4,78; 11; 56; −85; 2577 выберите:
1) целые числа; 4) дробные числа;
2) целые положительные числа; 5) рациональные числа;
3) целые отрицательные числа; 6) дробные отрицательные числа.
1051°. Среди чисел 534; −2,02; 0; 33,01 выберите:
1) натуральные числа; 2) целые числа; 3) рациональные числа.
1052°. Приведите пример числа, которое:
1) является целым, но не является натуральным;
2) является рациональным, но не является целым и не является положительным.
1053°. Сколько целых чисел и сколько натуральных чисел находится на координатной прямой между числами:
1)-12 и 12; 2)-62 и 62?
1054°. Сколько натуральных чисел и сколько целых чисел можно отметить на координатной прямой между точками:
1 )А(12) и B(28); 2) С(-3,5) и D(-12,9); 3) М(-3,2) и N(10)? Назовите эти числа.
1055°. Сколько целых чисел можно отметить на координатной прямой между точками:
1) А(2) и В(2,5); 2) С(-5) и D(-12,9)?
1056°. Отметьте на координатной прямой все положительные целые числа, которые лежат слева от числа
1057°. Отметьте на координатной прямой все натуральные числа, которые лежат слева от числа 5, и числа, противоположные к ним.
1058°. Запишите все целые числа, модуль которых меньше числа:
1)3; 2)4,5; 3)1,25.
1059, Какие из чисел
1) целыми; 2) дробными; 3) натуральные; 4) рациональными?
1060. Среди чисел, противоположных чисел 15; −71; 0; — 1,1; 4,05; выберите:
1) натуральные числа; 3) цели недодатні числа;
2) целые числа; 4) рациональные числа,
1061. Какие из чисел-3; 1230;
1) целыми, но не натуральными;
2) дробными, но не положительными;
3) рациональными, но не целыми?
1062. Найдите целые числа, модуль которых находится между числами:
1) 12 и 15; 3) −10 и 1; 5) 58,6 и 59,1;
2)-2 и 2; 4) 19 и 22;
1063. Является ли верным равенство:
1) |а| = -а, если а — рациональное число;
2) |а| = а, если а — натуральное число;
3) |x| =-х, если х — целое число;
4) |х| =-х, если х — натуральное число?
1064. Является ли верным равенство:
1) |а| = а, если а — рациональное число;
2) |х| = х, если х — целое число?
1065. Укажите такие целые значения а, при которых между числами -а и а на координатной прямой можно найти только одно целое число.
1066*. Существует ли такое значение а, при котором между числами −2а и а на координатной прямой: 1) лежит ровно сто целых чисел; 2) не лежит ни одного числа? Приведите пример.
1067*. Для каких натуральных чисел х и у верно равенство: |x| +|у| =6?
1068*. Для каких целых чисел х и у верно равенство: |х| + |у|=8?
1069. Может существовать класс, в котором половина учеников изучает только испанский язык, четверть учеников — только немецкий язык, седьмая часть учеников — только французский язык, кроме того, есть еще три ученика, которые изучают только китайский язык?
1070. Может существовать класс, в котором треть учеников играет только в футбол, четверть ученики в—только в баскетбол, восьмая часть учеников—только в теннис, кроме того, есть еще пять учеников, которые не занимаются спортом?
ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ
1071. Сравните значения числовых выражений:
1)400094-20 900 +6 и 401 543-11 267+ 190;
2) 300 005 — 23 000 + 5 и 3 230 005 : 5 + 2.
1072. Сравните числа:
1073. Саша задумал три числа. Сумма этих чисел равна 61,5. Сумма первого и второго чисел равна 40,2, а сумма первого и третьего составляет 29,8. Какие числа задумал Саша?
